Cấp số nhân lùi vô hạn – tổng riêng tiến tới tổng

Thuộc bài Giới hạn của dãy số (Toán 11, Chương trình GDPT 2018), phần tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Mô hình giống nghịch lí Zeno: người đi bộ mỗi bước đi thêm một đoạn bằng q lần bước trước; câu hỏi là vô hạn bước đó có đưa tới một điểm cố định hay không. Mô phỏng tính chính xác Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q), chỉ dừng ở một số hữu hạn số hạng (tối đa 30) nên giới hạn được thấy qua xu hướng chứ không đạt tới. Kéo thanh u₁ và q, bấm Chạy để các bước nhảy nối tiếp nhau trên trục số, hoặc Thêm 1 số hạng để đi từng bước. Đồ thị bên dưới vẽ các điểm (n; Sₙ), cột uₙ và đường nét đứt y = S. Nút chọn nhanh đặt q = 1/2 (Zeno), 1/4, −1/2 (tổng riêng dao động quanh S), 9/10 (hội tụ chậm), 1, −1 và 6/5 (phân kì). Bảng số liệu cho uₙ, Sₙ và sai lệch |S − Sₙ|; dòng thông tin cho biết cần bao nhiêu số hạng để sai lệch nhỏ hơn 0,001. Câu hỏi gợi ý: – Với u₁ = 1, q = 1/2, sau bao nhiêu bước thì Sₙ cách 2 chưa tới 0,001? – Vì sao với q âm, Sₙ lúc lớn hơn, lúc nhỏ hơn S? – Có thể dùng công thức S = u₁/(1 − q) khi q = 6/5 không? Vì sao?